Metódy adaptívnosti v Pro/Mechanica Structure

Ken Short PhD

 

Uvedený článok popisuje metódy používané pre adaptívnosť rádu polynómu v Pro/Mechanica Structure.

Dôraz sa kladie viac na celkový popis a vysvetlenie relatívnych výhod každého prístupu, než na detaily, ako sú tieto metódy implementované a ako môžu byť ovládané/kontrolované užívateľom. Prosím, odvolajte sa na dokumentáciu pre Pro/Mechanica, za účelom získania hlbšej špecifikácie užívateľských informácií.
Pre výpočet riešení používa Pro/Mechanica „p-type“ konečné elementy. Jednou z kľúčových výhod „p-type“ konečných elementov je, že umožňujú adaptívnosť riešenia bez vyžadovania zjemnenia siete. So štandardnými “h-type” konečnými prvkami, ak sa už raz získalo riešenie, existuje len jeden spôsob ako zvýšiť jeho kvalitu pozostávajúcu z opakovania prepočtu prostredníctvom použitia jemnejšej siete. Uvedený proces je veľmi dobre známy ako „žrút času“, komplikovaný a problematický v niekoľkých bodoch. Na rozdiel s „p-type“ elementmi, maximum polynomických rádov základných funkcií použitých pre aproximáciu riešenia sa môže zvyšovať lokálne podľa potreby. Proces riešenia sa následne môže opakovať na tej istej sieti, s novými zvýšenými polynomickými rádmi. Tento adaptívny krok (často v Pro/Mechanica nazývaný pass) sa môže opakovať za účelom získania ešte lepšej presnosti.

V „p-type“ metódy konečných prvkov sú základné funkcie vytvorené tak, aby sa maximálny rád polynómu aproximácie (priblíženia) dal zvoliť nezávisle pre každú hranu, stenu/plochu a objem siete. Preto cieľ metódy adaptívnosti „p-rádu“ pozostáva z výberu vhodného polynomického rádu pre každú hranu, ktorá bude smerovať k celkovému riešeniu poskytujúceho dobrú kvalitu výsledkov s využitím akceptovateľného času a výpočtových prostriedkov.

Tieto polynomické rády by mali dostatočne spĺňať požadovaný stupeň presnosti, aby sa predišlo zavedeniu nežiadúcich stupňov voľnosti v procese riešenia. Avšak, príliš vysoký stupeň polynomického rádu smeruje k zvyšovaniu požiadaviek na systémové zdroje.

Konštantné stupňovanie polynómu

Najjednoduchšia adaptívna metóda je založená na konštantnom raste polynómu s nízkym polynomickým rádom p (obvykle p=1 alebo p=2) a potom opakovane, zvýšením p o jedna v každom kroku na všetkých hranách siete. Proces môže byť ukončený, ak sa dosiahne požadovaná presnosť. Táto metóda nie je využívaná v Pro/Mechanica, ale je tu popísaná kvôli objasneniu. V skutočnosti, pri tejto metóde sa vyskytuje viacero problémov.
Po prvé, pokiaľ je polynomický rád zvyšovaný na všetkých hranách rovnakým spôsobom, počíta sa s oveľa vyšším počtom stupňov voľností ako je potrebné. Zvyčajne malý počet kritických hrán v regióne, na ktorom sa výsledky menia radikálne, bude ovplyvňovať zvyšné hrany k vyššiemu rádu polynómu.
Po druhé, raz musí byť rozhodnuté, kedy skončiť. Táto požiadavka vyhodnocuje presnosť riešenia získanú v poslednom kroku a ukončuje, ak je lepšia než požadovaná presnosť.
Jedno priblíženie pozostáva z porovnania riešenia, ktoré je obsiahnuté v poslednom kroku, s predošlým výsledkom a použitím rozdielu medzi týmito riešeniami („jednoducho“ povedané) ako stanovenie dosiahnutej presnosti. Ak je tento prístup aplikovaný zjednodušene, situácie môžu nastať počas riešenia, ktoré môžu ovplyvniť jeho robustnosť a spoľahlivosť. Predovšetkým vzniká možnoť, že konvergencia modelu je riadená veľkými rozdielmi na jednom regióne siete (povedzme región A) príslušného kroku riešenia (povedzme krok (pass) N). V tomto prípade p-level-y budú zvýšené v tomto regióne pre krok N+1. Avšak, môžu byť iné oblasti významných rozdielov (hoci menšie ako v regióne A) a tieto regióny nemusia mať úžitok zo zvýšenia p-level-ov v kroku N+1; a preto rozdiely v kroku N+1 týchto regiónov môžu byť vedené ako „umelo“ nízke.

Multi-Pass Adaptivity (MPA) – Viackroková Adaptívnosť

Viackroková adaptívnosť (MPA) bola prvou adaptívnou metódou poskytovanou v Pro/Mechanica. Namiesto zvyšovania polynomických rádov o jedna na každej hrane v každom kroku, sa MPA algoritmus pokúša o identifikáciu, ktoré oblasti modelu vyžadujú zvýšenú presnosť, a zvyšuje polynomický rád hrán o jedna alebo dva v každom kroku len na týchto oblastiach.
Pre identifikáciu hrán, ktoré potrebujú zvýšenie polynomického rádu, MPA algoritmus porovnáva posunutia a energie napätosti elementov v poslednom kroku s korešpondujúcimi hodnotami v predošlom kroku. Kde je rozdiel väčší, ako užívateľom definovaná presnosť, tam sa zvyšuje rád polynómu. Inak zostáva nezmenený. Tento proces sa opakuje, pokým sa nedosiahnu požadované celkové konvergenčné kritéria pre riešenie tak, ako boli určené užívateľom. Tieto kritériá môžu zahŕňať percentuálne rozdiely štandardných lokálnych a globálnych kvantít, vhodných pre typ problému ako sú posunutia, energia napätosti a r.m.s. napätia, ale taktiež môžu zahrnúť užívateľom definované merania.
MPA algoritmus využíva viacero techník vyvinutých počas mnohých verzií pre minimalizovanie šance na chýbajúcich regiónoch modelu, ktoré vyžadujú zvýšenie p-levelu, aj keď sú tieto techniky založené hlavne na skúsenostiach užívateľa a na automatizovaní prípustných manuálnych metód dosahovania konvergovaného riešenia, pridávaním zjemňovania riešenia do regiónov, kde sú veľké chyby.
Aj keď nie je absolútna teoretická základňa pre priblíženie/prístup založená na porovnaní kroku s ďalším, ktorý môže zaručiť predídenie takýchto problémov, skúsenosť ukázala, že pre viaceré reálne strojárske firmy, MPA poskytuje vhodné, robustné riešenie, najmä ak je použité spoločne s užívateľom definovanými meraniami a pre vytváranie mimoriadne presných výsledkov v oblastiach s osobitým záujmom, ako sú koncentrátory napätia alebo špičky trhlín.

Single-Pass Adaptivity (SPA) – Jednokroková Adaptívnosť

V nedávnom čase Pro/Mechanica predstavila a zdokonalila alternatívny a teoreticky lepší algoritmus zvaný Single Pass Adaptivity (SPA), ktorý používa precíznejšiu metódu pre určenie a zvýšenie presnosti riešenia. Ako mnohí analytici zaoberajúci sa metódou konečných prvkov vedia, hľadanie hrubých/raw napätí (napätie počítané priamo z derivácií posunutí) môže byť veľmi selektívne v určovaní oblastí modelu s nízkou presnosťou. Tieto napätia sú nespojiteľné na hraniciach elementov a amplitúda ich skokov v nespojitosti je dobrý kalkulátor napäťovej presnosti. Tento fakt má matematický základ telesa prinajmenšom v globálnom hľadisku, ak nie je stanovený v zmysle „element-po-elemente“.
Prostredníctvom merania týchto napäťových skokov je možné získať ohodnotenie lokálnej presnosti riešenia, a to bez referencie na predchádzajúci krok. V SPA algoritme sú indikátory chýb elementov počítané, a tieto v podstate merajú priemer skoku napätia okolo každého elementu. Rády polynómov sú zvyšované na hranách prislúchajúcich elementom s veľkými chybami. Hrany elementov s väčšími chybami získajú vyšší polynomický rád, ako hrany elementov s nižšími chybami. Polynomické rády na hranách elementov s nízkymi chybami zostávajú nezmenené.
Experimentácia dokazuje, že najvyššia dosiahnutá presnosť nastáva po prvom kroku adaptívnosti. Preto najefektívnejší spôsob operácie bol nájdený pre zloženie zo štartovacieho jednotného nízkeho polynomického rádu (p=3 bolo nájdené ako najlepší kompromis medzi presnosťou a výkonom), výpočtom indikátorov chýb elementu založenom na tomto riešení, aktualizáciou polynomických rádov a opakovaním riešenia. Výsledky dosiahnuté v tomto bode sa chápu ako finálne riešenie a indikátory chýb elementov sú prepočítané tak, aby poskytli užívateľovi globálny údaj o získanej priemernej presnosti napätia.
Parametre, ktoré riadia zvyšovanie polynomického rádu na každej hrane, sú viazané na indikátory chýb elementu. Pre konkrétnu hranu boli ladené tak, aby sa zaistilo, že prostredníctvom využitia riešenia SPA bude poskytnutá vhodná strojárska presnosť vo výpočte, čo predstavuje malý pomer výpočtových nákladov v porovnaní s výpočtami dosiahnutými v MPA riešení. Okresanie nákladov je kvôli faktu, že polynomický rád poväčšine zostáva na úrovni p=3 pre väčšinu hrán na modeli, s malým percentom hrán v kritických oblastiach na vyšších polynomických rádoch.
Treba však poznamenať, že len zriedkavo sa užívatelia zaujímajú o výsledky, ktoré sú zjavne menšie ako maximálne hodnoty na modeli, ako aj o chyby konvergencie vo výsledkoch v týchto miestach, ktoré môžu byť väčšie ako boli očakávané. Uvedené vyplýva z chýb viazaných na percentuálnosť oveľa vyšších výsledkov (maximálna hodnota na modeli). V tomto prípade užívatelia môžu profitovať z použitia MPA riešenia za účelom zvýšenia p-rádov v oblastiach mimo modelového maxima, a to určením extrémne prísneho globálneho kritéria konvergencie. V ďalších verziách Pro/Mechanica budú predstavené automatické metódy pre identifikáciu a redukovanie konvergenčných chýb použitím SPA na užívateľom definovaných regiónoch.
Prostredníctvom skúseností získaných počas užívania niekoľkých predošlých verzií komerčnými užívateľmi a kvalitou poskytovanou inžiniermi v PTC bolo dokázané, že pre väčšinu všeobecných strojárskych situácií, SPA algoritmus poskytuje lepšiu presnosť ako MPA, a to pri značne nižších výpočtových nákladoch. Táto skúsenosť, spoločne so zdravým teoretickým základom SPA algoritmu znamená, že SPA by mohlo byť používané ako preferovaný spôsob všade tam, kde je to vhodné.