Ako hľadať chyby v konečnoprvkových modeloch - časť I.

Je veľmi jednoduché vytvoriť konečnoprvkové modely s chybami. A je práve tak jednoduché ich opraviť, keď vieme ako.
Prvý krok vo FEM analýze je matematický model reprezentujúci objekt, ktorý chceme analyzovať. Pojem “matematický model” sa odkazuje na teóriu ako teória pružnosti, Reissnerova teória dosiek, alebo deformačná teória plasticity, a ďalej na informácie, ktoré definujú problematiku ako – popis geometrie, materiálové vlastnosti, ako aj okrajové podmienky a zaťaženie.
Cieľom analýzy sú výpočtové informácie z presného riešenia posunutí “u_FE” a ďalej maximálnych von Mises-ových napätí, ktoré môže byť “F(u_EX)”. Funkcia F(u_EX) závisí len na definícii matematického modelu a nie na metóde použitej pre hľadanie približného riešenia. Preto, to nezáleží na kvalite siete, type, a veľkosti elementov. Rozdiel medzi F(u_EX) a fyzikálnymi vlastnosťami, ktoré vystihujeme je nazývaný "chyba modelovania".

Ďalší krok použitia konečnoprvkovej metódy je nájdenie priblíženia u_FE presného riešenia u_EX. Toto zahrňuje voľbu siete a elementov ako 2D dosky, 8-uzlové kocky, p-elementy, atď. Sieť a elementy definujú to, čo nazývame “konečnoprvková diskretizácia/rozdelenie”.

Chyba delenia je definovaná rovnicou:

Väčšina výpočtárov by chcela udržať túto hodnotu nie vyššiu ako 10%. Ale modelovanie a delenie zavádzajú chyby. Vhodné aplikácie techniky a vedy FEA obsahujú zhodnocovanie a kontrolu týchto dvoch typov chýb. Je to tiež dobrý nápad pre rozlíšenie medzi zdanlivými a reálnymi chybami vo FEA výsledkoch. Podľa rovnice:

Domnelá chyba môže byť menšia ako súčet chýb modelovania a diskretizácie. Dve chyby môžu mať opačné znamienka a môžu sa “zrušiť”. Kvalita výsledkov zavisí na oboch ako dobre model reprezentuje realitu (veľkosť chyby modelovania) a ako presne FEA SW spracováva transformáciu/pretvárnenie (veľkosť chyby diskretizácie).

Čo sú chyby modelovania?

Predpokladajme, že chceme analyzovať nosnú konzolu. Otázky, ktoré nás napadajú: Čo cheme zisťovať? Maximálne napätia? Maximálny priehyb? Niekoľko prvých vlastných frekvencií/tvarov? Ohybovú tuhosť? Rozloženie teplôt? Zostane konzola v oblasti pružnosti? Koľko zaťažujúcich podmienok bude kritických? Ako by sme mali reprezentovať podmienky podpery?

S jasným cieľom a pochopením obmedzení vyplyvajucich z pouzivanej teorie môže analytik vytvorit geometriu modelu. Niekedy môže byť táto geometria podobná geometrii CAD modelu, ale veľmi často je nutné nájsť zmeny topologického popisu pre zjednodušenie siete. Časť procesu modelovania zahŕňa tvorbu rozhodnutí ako sú: modelovanie tenkých stien škrupinovými elementami, podchytiť výhody symetrie alebo asymetrie, resp. oboch, zvážiť zahrnutie alebo zanedbanie zaoblení, a či vymazať nepodstatné prvky. Napr. rozhodovanie, či použiť radšej škrupinové elementy, alebo alebo objemové elementy znamená urobiť raz dvôležité rozhodnutie týkajúce sa matematického modelu a potom druhu operácií FEA SW-u, ktoré budú prevedené.

Po dokončení idealizácie topologického popisu, je potrebné idealizovať materiálové vlastnosti (zvoliť lineárne pružný, elasticko-plastický, alebo iný), zaťaženia a väzby. Tieto rozhodnutia neskôr určujú matematický problém, ktorý predpokladane reprezentuje konzolu vzhľadom na data oblasti záujmu.

Dôležité rozhodnutia modelovania sú niekedy urobené bez veľkého záujmu na ich dôsledky. Často sa stane, že zformulovaný model je koncepčne zlý. Ukazovateľ defektného modelu je, keď energia napätosti odpovedajúca presnému riešeniu je nekonečná alebo takmer nulová. Ďalší ukazovateľ je, keď oblasť záujmu, odpovedajúca riešeniu matematického modelu, nie je definovaná. Alebo, keď je riešenie definované, a je plne závislé na diskretizácii (sieti).

Mnoho výpočtárov si myslí, že výkonný generátor siete redukuje chyby modelovania vysoko kvalitnou sieťou. Nie je to pravda. Konzistencia modelu sa zisťuje ešte pred tvorbou siete. Teda, ani tá najlepšia sieť nemôže napraviť nevhodne definovaný matematický model.

Štyri skrutky držia plech nosníka. Materiál je oceľ, definovaný modul pružnosti E, Poissonova konštanta, medza klzu. Predpokladáme podmienky rovinnej napätosti. Daná je hrúbka plechu a priemer skrutiek. Rovnomerne rozložená ťažná sila aplikovaná na pravej hrane nosníka.

Systematický prístup

Jediným spôsobom, ako zabezpečiť len malé chyby modelovania je ukázať, že príslušné údaje nie sú citlivé na obmedzujúce podmienky a predpoklady pri tvorbe modelu. Tomuto je podobné zabezpečovanie malých diskretizačných chýb, kde je potrebné ukázať, že príslušné údaje nie sú citlivé na diskretizáciu (výsledky sa výrazne nemenia pri jemnejšej sieti alebo s vyššou hodnotu parametru p). Napríklad, ak sa konštruktér zaujíma o šmykové zaťaženie po okraji jednoducho podloženej platne, klasický model platne (Kirchhoffova platňa) je nevhodný. Nevhodnosť je možné jednoducho zistiť použitím Reissnerového modelu alebo plne 3D modelu elasticity. Reissnerov model platne v ohybe predpokladá, že všetky posunutia v rovine sa menia lineárne pozdĺž hrúbky a že ohybové napätia sú konštatnté na celej hrúbke. Využitím väčších síl na modeli platne je možné uvažovať o význame jednoduchej podpery a či tento model poskytuje dostatočne presný popis fyzického systému a problému.

Pre riadenie modelovacích chýb v systematickej metóde, je potrebné mať hierarchické hľadisko. Správne definovaný matematický model by mal byť videný ako mimoriadny prípad viac všeobecného matematického modelu. Napr.: model založený na lineárnej teórii pružnosti je špeciálny prípad modelu, ktorý vykazuje nelinearity geometrické alebo materiálové, alebo oboje. Jednoducho, Reissner-ova teória dosiek je špeciálny prípad plnej 3D reprezentácie, s nekonečným množstvom možných doskových modelov v prostriedku. Keď sa maximum von Mises napätia ukáže byť väčšie ako medz klzu materiálu, potom je model založený na lineárnej teórii pružnosti nevhodný. Ak sa uvažujem vyšší model, je potrebné použiť komplexnejšiu teóriu pre napodobenie reálnych podmienok. Každopádne, lineárny model by mal byť vnímaný len ako prvý krok v riešení nelineárnom.

V praxi bolo zložité riadiť chyby modelovania, s hierarchickými modelmi, pretože väčšina FEA kódov spája definíciu elementu a základnú teóriu. Napr.: knižnice elementov môžu popisovať element ako "20-uzlový, trojdimenzionálne posunutia definované tromi kvadratickými rovnicami, hybridný, lineárne napätie, znížená integrácia." Zmena modelu spôsobuje zmenu elementu, čo zvyšuje obtiažnosť úlohy. Chyby modelovania nie sú brané do úvahy vo väčšine prípadoch, pretože zvyčajne krátky čas obmedzuje analýzu a vyššia úroveň level odborného posudku potrebuje pre správne prevedenie nevyhnutné časovo náročné výpočty.

Systematické priblíženie pre riadenie chýb modelovania zaostáva za ďalším FEA vývojom. Bolo to vsadené do komerčných FEA SWov len nedávno v kóde zvanom StressCheck. Automatically stanovuje obe modelovacie I disketizačné chyby. Balík samostatne spracováva topologický popis elementov, ich polynomické stupne, a základnú teóriu. Napr.: hierarchická skupina modelov je prístupná pre izotropické a laminované dosky v ohybe. Najnižší člen v hierarchii je Reissnerov model, najvyšší 3D reprezentácia. Opakovaním výpočtov pri použití postupne vyšších hierarchických modelov, je možné postupne "uvoľňovať" predpoklady pri tvorbe modelu až kým sa výsledky nebudú naďalej významne meniť.

Pokračovanie nabudúce